数轴上动点问题的教学实践与思考

 魏江南

摘要

数轴上的动点问题是七年级数学教学的重点与难点，它不仅衔接了有理数、数轴、绝对值等基础知识点，更蕴含着数形结合、分类讨论、方程思想等重要数学思想方法。本文基于七年级学生的认知特点和教学实际，分析了动点问题教学中存在的困境，从教学目标定位、教学策略设计、典型例题剖析、能力培养路径等方面进行了系统探索，结合具体教学案例提出了“情境化导入—阶梯式探究—模型化构建—拓展性应用”的四阶教学模式，旨在帮助学生突破思维障碍，提升数学核心素养，为后续函数、几何等内容的学习奠定坚实基础。

关键词：七年级数学；数轴；动点问题；教学策略；核心素养

一、引言

数轴作为初中数学的“第一个数形结合工具”，是学生从具体数的运算过渡到抽象数学思维的关键载体。而数轴上的动点问题，以其“动态性”“综合性”“开放性”的特点，成为七年级数学教学中的“拦路虎”。这类问题通常以数轴为背景，描述一个或多个点的运动过程，要求学生根据运动规律求解线段长度、点的位置、相遇时间等问题，既考查学生对有理数、绝对值、方程等基础知识的掌握程度，又考验学生的逻辑推理、分类讨论、数形转化等综合能力。

在实际教学中，笔者发现多数七年级学生面对动点问题时存在明显的畏难情绪：部分学生无法将动态过程转化为静态图形，难以准确表达动点的位置；部分学生忽视运动的多可能性，缺乏分类讨论意识；还有部分学生不能建立数量关系与方程的联系，解题思路混乱。这些问题的产生，既与七年级学生抽象思维薄弱、空间想象能力不足的认知特点有关，也与教学中存在的“重结论轻过程”“重解题轻思维”等现象密切相关。

因此，深入研究数轴上动点问题的教学策略，优化教学过程，帮助学生攻克这一难点，不仅能提升学生的数学解题能力，更能培养学生的数学思想方法和核心素养，具有重要的教学实践意义。

二、数轴动点问题的教学现状与困境分析

（一）学生层面的认知障碍

1.抽象思维与具象感知的脱节

七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对“动态变化”的理解存在困难。数轴上的动点是一个抽象的数学模型，点的运动方向、速度、时间等变量的组合，使得学生难以在脑海中构建清晰的运动轨迹，无法将动态过程分解为若干个静态的瞬间，导致对问题的本质把握不清。

2.数学语言转化能力的不足

动点问题涉及文字语言、图形语言、符号语言三种语言的相互转化。学生往往能读懂题目中的文字描述，但难以将其转化为数轴上的图形表示，更无法用符号语言（如代数式、方程）表达动点的位置、线段的长度等数量关系。例如，对于“点 P 从数轴上的点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动”，部分学生无法准确写出 t 秒后点 P 对应的数。

3.分类讨论与全面思考意识的欠缺

动点问题中，点的运动方向、相遇位置等往往存在多种可能性，需要学生进行分类讨论。但七年级学生的思维具有单一性和片面性，容易忽视其中的某些情况，导致解题不完整。例如，在求解 “数轴上两点之间的动点相遇问题” 时，学生可能只考虑同向运动的情况，而忽略反向运动的可能性；或只考虑相遇在两点之间，而忽略相遇在两点之外的情况。

4.方程思想应用的薄弱

数轴动点问题的核心解法之一是建立方程求解，但七年级学生刚接触一元一次方程，对“用方程表示数量关系”的理解不够深入，难以找到题目中的等量关系，导致无法建立有效的方程模型。例如，在求解“动点运动到某一位置时，满足特定线段长度关系”的问题时，学生往往不知道如何将线段长度的条件转化为方程。

（二）教学层面的存在问题

1.教学目标定位偏狭

部分教师将教学目标仅仅定位在“让学生掌握动点问题的解题技巧”上，过于注重题型的归纳和解题方法的灌输，而忽视了对学生数学思想方法的培养和思维能力的提升。这种“重技巧轻思想”的教学模式，使得学生只能机械模仿，无法灵活运用所学知识解决新的问题。

2.教学内容设计缺乏梯度

动点问题的难度跨度较大，从简单的单点运动到复杂的多点运动，从单一条件到多重条件，需要逐步递进。但部分教师在教学中缺乏对教学内容的合理分层，直接呈现难度较高的综合性问题，导致学生难以跟上教学节奏，产生畏难情绪；或只讲解简单的基础题，缺乏拓展延伸，无法满足学生的认知发展需求。

3.教学方法过于单一

多数教师在教学中采用“例题讲解—习题训练”的传统教学模式，缺乏情境化、探究性的教学环节。这种单向的知识传递方式，无法充分调动学生的学习积极性和主动性，学生处于被动接受的状态，难以深入理解动点问题的本质，更无法培养自主探究和创新思维能力。

4.评价方式不够全面

当前对学生动点问题掌握情况的评价，主要以书面考试成绩为主，注重解题结果的正确性，而忽视了对学生解题过程、思维方法、探究能力等方面的评价。这种单一的评价方式，无法全面反映学生的学习状况，也不利于学生的全面发展。

三、数轴动点问题的教学策略探究

针对上述教学现状与困境，结合七年级学生的认知特点和课标要求，笔者提出 “情境化导入—阶梯式探究—模型化构建—拓展性应用”的四阶教学模式，旨在通过层层递进的教学环节，帮助学生突破认知障碍，掌握解题方法，提升思维能力。

（一）情境化导入：激发兴趣，感知本质

数学源于生活，又服务于生活。通过创设贴近学生生活的实际情境，将抽象的动点问题转化为具体、可感知的生活现象，能够有效激发学生的学习兴趣，帮助学生理解动点问题的本质。

在教学导入环节，可设计如下情境：“小明从家出发，以每分钟50米的速度前往学校，家到学校的距离为1000米。请同学们思考：小明出发t分钟后，距离家有多远？距离学校有多远？小明出发多长时间后到达学校？”通过这个生活中的行程问题，引导学生思考“路程、速度、时间”的关系，然后将其迁移到数轴上：“若把家看作数轴上的点A（表示0），学校看作数轴上的点 B（表示1000），小明的运动看作数轴上的动点 P，那么动点 P 对应的数如何表示？”通过这种生活情境与数学模型的类比，让学生感受到数轴动点问题与生活的联系，理解“动点的位置=初始位置+速度×时间（或减去，取决于运动方向）”的核心数量关系，为后续学习奠定基础。

此外，还可以利用多媒体课件、动画演示等手段，直观展示动点的运动过程。例如，通过Flash动画模拟点在数轴上的运动，清晰呈现运动方向、速度、位置变化等，帮助学生在脑海中构建动态轨迹，将抽象的数学问题转化为直观的视觉形象，降低理解难度。

（二）阶梯式探究：分层递进，突破难点

动点问题的难度具有层次性，教学中应遵循“由浅入深、由简到繁”的原则，设计阶梯式的探究问题,让学生逐步积累经验，突破思维障碍。

1. 第一阶梯：单点运动，掌握基础

单点运动是动点问题的基础，主要考查学生对动点位置表示、线段长度计算的掌握情况。这一阶段的教学重点是让学生学会用代数式表示动点的位置，理解绝对值在表示线段长度中的作用。

例题 1：已知数轴上有一点A，对应的数为-2。

（1）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，t秒后点P 对应的数是多少？

（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒后点P 对应的数是多少？

（3）在（1）的条件下，当t=2时，点P到原点的距离是多少？

教学过程：首先引导学生分析运动方向与数轴上数的变化关系：向右运动时，数逐渐增大，用“初始位置 + 速度×时间”表示；向左运动时，数逐渐减小，用“初始位置-速度×时间”表示。然后让学生自主尝试写出点P对应的数，教师进行针对性指导。对于第（3）问，引导学生理解“点到原点的距离”就是该点对应的数的绝对值，从而将问题转化为求代数式的绝对值。

通过这类基础题的训练，让学生掌握动点位置的表示方法，理解“运动方向决定运算符号，速度和时间决定变化量”的规律，为后续复杂问题的学习奠定基础。

2. 第二阶梯：两点运动，学会分类

两点运动是动点问题的核心，主要涉及两点之间的距离、相遇、追及等问题，需要学生具备分类讨论意识。这一阶段的教学重点是引导学生分析两点的运动方向、相对位置，掌握分类讨论的方法，找到等量关系。

例题 2：已知数轴上有两点 A、B，对应的数分别为-4和8。

（1）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后，点P与点Q相遇？

（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，点P与点Q之间的距离为2个单位长度？

教学过程：对于第（1）问，首先引导学生画出数轴，标出A、B两点的位置，然后分析P、Q的运动方向（相向而行），明确相遇时“P、Q对应的数相等”这一等量关系。设经过t秒相遇，分别表示出t秒后P、Q对应的数：P为-4+2t，Q为8-t，根据相遇条件列方程：-4+2t=8-t，解得t=4。

对于第（2）问，首先引导学生分析运动方向（同向而行，P在Q左侧，P的速度比 Q 快），明确“两点之间的距离为 2”存在两种情况：P 追上Q之前距离为2，P追上Q之后距离为2。然后分别画出两种情况的图形，列出对应的方程：

追上之前：Q 对应的数-P对应的数 = 2，即（8+2t）-（-4+3t）=2，解得 t=10；

追上之后：P对应的数- Q对应的数= 2，即（-4+3t）-（8+2t）=2，解得 t=14。

通过这道例题的探究，让学生体会分类讨论的必要性，学会根据运动情况的不同进行分类，找到每种情况下的等量关系，建立方程求解。同时，引导学生总结“相向而行看相遇，同向而行看追及，距离问题分情况”的解题思路。

3. 第三阶梯：多点运动，综合应用

多点运动是动点问题的拓展，通常涉及三个或三个以上点的运动，需要学生综合运用数形结合、分类讨论、方程思想等多种方法，考查学生的综合思维能力。这一阶段的教学重点是引导学生理清多个点的运动关系，分解复杂问题，逐步求解。

例题 3：已知数轴上有三点 A、B、C，对应的数分别为 - 6、0、12。点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动；点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度先向左运动，遇到点P后立即向右运动，遇到点Q后又立即向左运动…… 如此往返，直到点P与点Q相遇时停止运动。求点R在整个运动过程中行驶的总路程。

教学过程：首先，引导学生分析问题的核心：点R的运动过程虽然复杂，但总路程=速度×总时间，因此只需要求出点R的运动时间（即点P与点Q的相遇时间），即可求出总路程。然后，分两步求解：

求点P与点Q的相遇时间：设经过t秒后P、Q相遇，P对应的数为- 6+4t，Q对应的数为12-2t，根据相遇条件列方程：-6+4t=12-2t，解得t=3；

求点R的总路程：点R的速度为每秒1个单位长度，运动时间为3秒，因此总路程=1×3=3个单位长度。

通过这道例题的探究，让学生体会“化繁为简”的数学思想，即面对复杂的多点运动问题时，不要被表面的复杂过程所迷惑，而是要找到问题的核心，分解为简单的问题逐步求解。同时，进一步巩固方程思想和数形结合思想的应用。

（三）模型化构建：总结规律，提升能力

在学生通过阶梯式探究积累了一定解题经验的基础上，引导学生总结数轴动点问题的解题规律，构建统一的解题模型，帮助学生从“具体解题”上升到“方法提炼”，提升解题能力。

1. 动点位置表示模型

数轴上任意一点的初始位置为 a，若该点以速度v（v>0）运动,那么：

向右运动t秒后，对应的数为：a+vt；

向左运动t秒后，对应的数为：a-vt。

这一模型是解决所有动点问题的基础，无论动点的运动过程多么复杂，只要明确其初始位置、运动方向和速度，就能用代数式表示出任意时刻的位置。

2. 线段长度计算模型

数轴上两点P、Q对应的数分别为x?、x?,那么线段PQ的长度为：|x?- x?|。

这一模型体现了数形结合思想，将线段长度这一几何量转化为绝对值这一代数量，是解决距离问题的核心工具。在实际应用中，只需用动点位置表示模型表示出两点对应的数，代入线段长度计算模型即可。

3. 方程建立模型

解决动点问题的关键是找到等量关系，建立方程。常见的等量关系包括：

相遇问题：两点对应的数相等；

距离问题：线段长度等于已知值（或满足特定比例关系）；

追及问题：快者比慢者多运动的路程等于初始距离。

引导学生根据不同类型的问题，识别对应的等量关系，将其转化为方程，从而求解。

通过构建这三个核心模型，让学生形成“表示位置—计算长度—建立方程” 的解题思路，无论遇到何种类型的动点问题，都能按照这一思路逐步分析，提高解题的规范性和准确性。

（四）拓展性应用：联系实际，深化思维

为了进一步提升学生的数学应用能力和创新思维能力，在教学的最后环节，可设计一些拓展性、应用性的问题，将数轴动点问题与生活实际、其他数学知识相结合，让学生感受到数学的实用性和综合性。

1. 生活实际应用

例题 4：某公路上有A、B、C三个加油站，A站位于B站左侧10千米处，C 站位于B站右侧15千米处。一辆货车从A站出发，以每小时60千米的速度向C 站方向行驶；一辆客车从C站出发，以每小时80千米的速度向A站方向行驶。两车同时出发，经过多少小时后，两车之间的距离为5千米？（不计车辆长度）

教学过程：引导学生将公路抽象为数轴，设B站为原点，向右为正方向，那么A站对应的数为-10，B站为0，C站为15。然后将货车和客车的运动转化为数轴上的动点问题，按照之前建立的解题模型进行求解。通过这道题，让学生体会数轴动点问题在实际生活中的应用，增强数学应用意识。

2. 跨知识点综合

例题 5：已知数轴上点A对应的数为-3，点B对应的数为5。点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t≥0）。

（1）用含t的代数式表示点P对应的数；

（2）当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；

（3）若点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且与点P同时出发，当t为何值时，△APQ 的面积为4？（提示：△APQ的高为点Q到直线AP的距离，此处直线AP为x轴，因此高为点Q对应的数的绝对值）

教学过程：这道题综合了数轴动点、线段长度、方程、三角形面积等知识点，引导学生逐步分析：第（1）问考查动点位置表示；第（2）问考查距离关系与方程；第（3）问需要结合三角形面积公式，找到底和高的表达式，建立方程求解。通过这道题的训练，让学生体会数学知识的综合性，提升跨知识点解题的能力。

四、教学评价与反思

（一）多元化教学评价

为了全面反映学生的学习状况，应采用多元化的教学评价方式，不仅关注解题结果的正确性，更注重对学生解题过程、思维方法、探究能力等方面的评价。

过程性评价：在课堂探究、小组讨论等环节，观察学生的参与度、思维表现，记录学生在分析问题、解决问题过程中的优点与不足，及时给予针对性的反馈和指导；

成果性评价：通过课堂练习、单元测试等方式，考查学生对动点问题解题方法的掌握程度，注重试题的层次性和综合性，既考查基础知识点，又考查综合思维能力；

自我反思评价：引导学生建立错题本，记录自己在解决动点问题时的错误思路和原因，定期进行自我反思和总结，培养自主学习能力。

（二）教学反思与改进

在数轴动点问题的教学实践中，还需要不断进行反思和改进，以提升教学效果：

关注学生的个体差异：针对不同层次的学生设计不同难度的问题，对于基础薄弱的学生，重点加强基础题的训练，帮助其掌握基本方法；对于学有余力的学生，增加拓展性问题，激发其创新思维；

强化数学思想方法的渗透：在教学中，不仅要讲解解题技巧，更要注重数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法的渗透，让学生在解题过程中体会思想方法的作用，提升数学思维能力；

加强小组合作学习：通过小组合作探究的方式，让学生相互交流、相互启发，共同分析问题、解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力；

注重知识的前后衔接：数轴动点问题是后续函数、几何等内容的基础，教学中应注重与后续知识的衔接，为学生的长远发展奠定基础。

五、结论

数轴上的动点问题是七年级数学教学的重点与难点，其教学质量直接影响学生数学核心素养的培养。在教学中，教师应充分认识到学生的认知障碍和教学中存在的问题，采用“情境化导入—阶梯式探究—模型化构建—拓展性应用”的四阶教学模式，通过生活化的情境激发学生兴趣，以阶梯式的问题突破思维难点，用模型化的方法总结解题规律，借拓展性的应用深化数学思维。同时，注重数学思想方法的渗透和多元化的教学评价，帮助学生克服畏难情绪，掌握解题方法，提升数学核心素养，为后续数学学习奠定坚实的基础。

数轴动点问题的教学是一个持续探索、不断完善的过程，教师应结合教学实际，不断优化教学策略，创新教学方法，让学生在解决动点问题的过程中感受数学的魅力，体验学习的乐趣，实现数学能力和综合素质的全面提升。